ChatGPTに聞いてみた－線形回帰の正規性の仮定について
「そんなことも理解せずに」という話でしょうが、線形モデルの正規性の仮定について、世の中の説明だと、あたかもモデルを作る前に判断できると書いてあるように見えるんですよね。だいたい実際のソフトの操作の前に書いてあるし。書籍でもWebサイトでも、「誤差項が正規分布してさえいればよいのです」「仮定が成立するか確認してモデルを適用しましょう」とか、いろんなところで書かれていますが、でも、手元のデータで「誤差だけ」正規分布しているかなんてわからないじゃん、といつも引っかかっています。
データ (説明変数) が正規分布っぽく見えない場合、それが本当にデータだけに由来して、誤差は正規分布しているという見分けはつくのでしょうか。そして、よく「Q-Qプロットを見て」ともありますが、「予測値と実測値の誤差を」という時点で、もう予測＝モデル作成してないですか、とも。適用できるかどうか、という話なのにもう適用してるじゃん、と。他にも、「仮定」というけど、実際に誤差を算出して検定してたら、それは「事実」なのでは、とか。
そのへんが (国語的に) いまいちピンとこないので、ChatGPT (o1-preview) に聞いてみました。
Q. 統計学やデータサイエンスにおいて、線形回帰モデルの仮定として、「誤差が正規分布に従うこと」が挙げられます。しかし、実際には説明変数は正規分布に従わず、誤差のみが正規分布に従う、ということは考えにくいように思います。このことについて、文系大学生にもわかるような説明をしてくれますか？
ご質問ありがとうございます。
線形回帰モデルでは、「誤差（残差）が正規分布に従う」という仮定があります。一方で、説明変数（独立変数）は正規分布に従わない場合が多いです。この点について、なぜ誤差だけが正規分布に従うと考えるのか、不思議に思われるかもしれません。
誤差項の正規性と説明変数の分布は独立
まず、重要なのは誤差項の正規性と説明変数の分布は直接関係がないということです。線形回帰モデルでは、説明変数がどのような分布であっても、誤差項が正規分布に従っていれば、モデルの推定や検定が正しく行えます。
なぜ誤差が正規分布に従うと仮定するのか
- 中心極限定理の適用: 誤差項は、さまざまな小さなランダムな要因（測定誤差や環境の変動など）が積み重なった結果と考えられます。中心極限定理によれば、多数の独立したランダムな要因の和は正規分布に近づきます。
- モデルの単純化: 正規分布は数学的に扱いやすく、多くの統計的手法が正規分布を前提としています。これにより、計算や解釈が容易になります。
説明変数が正規分布に従わないことの影響
説明変数が正規分布に従わない場合でも、線形回帰モデルを適用することは可能です。ただし、極端な偏りや外れ値がある場合は、モデルの結果に影響を与える可能性があります。その場合、データの変換やロバストな手法の適用を検討することが望ましいです。
まとめ
- 誤差項が正規分布に従うという仮定は、モデルの推定や検定を正確に行うために重要です。
- 説明変数の分布は誤差項の分布に直接影響しないため、必ずしも正規分布に従う必要はありません。
- 直感的な理解として、誤差は多くのランダムな要因の積み重ねであり、その結果として正規分布に従うと考えられます。
もしさらに詳しい説明や具体的な例が必要であれば、お気軽にお知らせください。
Q. 説明変数について、真の値と誤差を現実のデータにおいて切り分けるのは難しいように思います。仮定を満たしているかは、モデルを作ってから、予測値と実測値の誤差を評価した段階で初めて確認できるのでしょうか？
ご質問ありがとうございます。
説明変数の真の値と誤差の切り分け
おっしゃる通り、現実のデータでは説明変数（独立変数）の真の値と測定誤差を完全に分けるのは難しい場合があります。線形回帰モデルでは、通常以下の仮定が置かれています：
- 説明変数に誤差がない：説明変数は正確に測定されている、または誤差が無視できるほど小さいと仮定します。
- 誤差項の正規性：目的変数（従属変数）の誤差項が正規分布に従うと仮定します。
仮定の確認方法
モデルを構築した後で、以下の手順を通じて仮定が満たされているかを確認します。
- 残差の分析：
- 残差とは、各データ点での実測値とモデルによる予測値の差です。
- 残差の分布を調べることで、誤差項が正規分布に従うかを評価できます。
- 視覚的な検討：
- ヒストグラムや**正規確率プロット（Q-Qプロット）**を用いて、残差の分布が正規分布に近いかを視覚的に確認します。
- 残差がランダムに散らばっているか、特定のパターンがないかを散布図で確認します。
- 統計的検定：
- シャピロ・ウィルク検定などを用いて、残差が正規分布に従うかを統計的に検定します。
説明変数の誤差がある場合の影響
説明変数に誤差が含まれると、以下のような問題が生じる可能性があります。
- 推定結果のバイアス：回帰係数の推定値が真の値からずれてしまう可能性があります。
- モデルの適合性の低下：予測精度やモデルの信頼性が低下することがあります。
対処法
- 測定誤差を考慮したモデル：
- エラーインバリアブルズモデルなど、説明変数の誤差を考慮した統計手法を使用します。
- データの品質向上：
- 説明変数の測定方法を見直し、誤差を減らす努力をします。
- 感度分析：
- 説明変数の誤差がモデルに与える影響を評価し、結果の解釈に注意を払います。
まとめ
- 仮定の確認：モデルを構築した後、残差の分析を通じて誤差の正規性などの仮定が満たされているかを確認します。
- 説明変数の誤差の扱い：説明変数に誤差が含まれる場合、その影響を理解し、必要に応じて適切な対処法を取ります。
追加のポイント
- 現実的な視点：完全にすべての仮定を満たすことは難しいため、仮定がどの程度まで満たされていればモデルが有用かを判断することも重要です。
- モデルの目的に応じた柔軟性：予測が主な目的であれば、多少の仮定違反があってもモデルが役立つ場合があります。
ご不明な点やさらに詳しい説明が必要な場合は、お気軽にお知らせください。
Q. ということは、結局モデルを作ってみないとそのモデルが統計的に妥当かは判断できず、事前に回帰分析の適用可否を判断することはできないということでしょうか？
ご質問ありがとうございます。
事前に回帰分析の適用可否を判断できるか
おっしゃる通り、モデルを実際に構築してからでないと、そのモデルが統計的に妥当かどうかを完全に判断することは難しいです。しかし、以下の方法で事前に回帰分析の適用可否をある程度判断することは可能です。
- データの探索的解析（EDA）を行う
- 散布図やプロットの作成：
- 説明変数と目的変数の関係を視覚的に確認します。線形の関係が見られる場合は、線形回帰が適切かもしれません。
- 相関分析：
- 説明変数と目的変数の相関係数を計算し、関係性の強さを評価します。
- モデルの仮定を事前に検討する
- 線形性の仮定：
- データが線形の関係を示すかを確認します。
- 独立性の仮定：
- 観測値が互いに独立しているかを検討します。
- 等分散性の仮定：
- 誤差の分散が一定であるかを予測値と残差のプロットなどで確認します。
- 正規性の仮定：
- 目的変数の分布を確認し、正規分布に近いかを検討します。
- データの質を評価する
- 外れ値や異常値の検出：
- データに極端な値がないかを確認し、それらが分析に与える影響を考慮します。
- 欠損値の確認：
- データの欠損が多い場合、分析結果に影響を与える可能性があります。
- 事前の統計的検定を行う
- 正規性の検定：
- シャピロ・ウィルク検定などでデータの正規性を確認します。
- 線形性の検定：
- ラインフィットプロットなどを用いて、線形モデルが適切かを検討します。
しかしながら、これらの事前の分析だけでは限界があります。
最終的な判断はモデル構築後に行う必要がある
- 残差分析：
- モデルを構築した後、残差を分析することで仮定が満たされているかを確認します。
- モデルの適合度の評価：
- 決定係数や AIC、BIC などの指標を用いてモデルの適合度を評価します。
- 仮定違反への対処：
- 仮定が満たされていない場合、データの変換や別のモデルの適用を検討します。
まとめ
- 事前の検討は有用だが限界がある：
- データの特性や関係性を事前に分析することで、回帰分析の適用可否をある程度判断できます。
- モデル構築後の検証が不可欠：
- 実際にモデルを構築し、仮定が満たされているかを確認することで、統計的な妥当性を判断します。
追加のポイント
- 専門知識の活用：
- 統計学やデータサイエンスの専門家に相談することで、適切な手法や仮定の検証方法を得られます。
- 柔軟な対応：
- 仮定が満たされない場合でも、データ変換やロバストな手法を用いることで、分析を進めることができます。
結論
事前に回帰分析の適用可否を完全に判断することは難しいですが、データの探索的解析や仮定の検討を通じて、適用の可能性を見極めることは可能です。しかし、最終的な統計的妥当性の判断は、モデルを構築し、仮定が満たされているかを確認した上で行う必要があります。
ご不明な点やさらに詳しい説明が必要であれば、お気軽にお知らせください。
結局のところ、「適用する」という言葉の意図するところ次第なのかな、とも思います。おそらく、書籍やWebサイトの記事を書いている方は、「作成したモデルを成果として公表する」ことを適用、としているのかと思いますが、一方でデータ分析を始めたばかりの人にとっては、「このデータにこの手法を使う」ことを適用、と捉えているのではないでしょうか。使ってよいかどうかのチェックポイントを知りたいのに、モデルができた後の誤差の話をされても、というところでギャップがあるのかもしれません。
そのあたり、「回帰分析の結果が統計学的に妥当で、有用であることを確認するためのポイントがあるが、それは実際にモデルを作ってみるまで、満たしているかわからない。だから、まずはモデルを作って、それからチェックしてみましょう」とでも書いてあれば、ずいぶん我々「下々の者」にとってもわかりやすくなるのではないかな、と感じます。